Question

16．观察算式：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…
（1）请根据你发现的规律填空：6×8+1=（7）²；
（2）用含n的等式表示上面的规律：n（n+2）+1=（n+1）²；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：（1+$\frac{1}{1×3}$）×（1+$\frac{1}{2×4}$）×（1+$\frac{1}{3×5}$）×…×（1+$\frac{1}{98×100}$）．

Answer 1

分析 （1）由题意得：第一个数字是连续的正整数，第二个数字比第一个数字大2，它们的积加1等于这两数之间的数的平方；
（2）根据（1）中的规律得结论；
（3）首先将括号里进行通分，再将规律代入后约分可得结果．

解答 解：（1）∵1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，
∴5×7+1=36=6²，6×8+1=49=7²，
故答案为：7；
（2）观察，发现：1×3+1=4=2²；2×4+1=9=3²；3×5+1=16=4²；4×6+1=25=5²，…，
∴第n个等式为：n（n+2）+1=（n+1）²，
故答案为：n（n+2）+1=（n+1）²，
（3）（1+$\frac{1}{1×3}$）×（1+$\frac{1}{2×4}$）×（1+$\frac{1}{3×5}$）×…×（1+$\frac{1}{98×100}$），
=$\frac{1×3+1}{1×3}$×$\frac{2×4+1}{2×4}$×$\frac{3×5+1}{3×5}$×…×$\frac{98×100+1}{98×100}$，
=$\frac{{2}^{2}}{1×3}$×$\frac{{3}^{2}}{2×4}$×$\frac{{4}^{2}}{3×5}$×…×$\frac{9{9}^{2}}{98×100}$，
=2×$\frac{99}{100}$，
=$\frac{99}{50}$．

点评 本题考查了数字类的变化规律，也是有理数的计算问题，从每1个式子，每1个因数的变化情况找规律，在第3问的计算中，注意约分情况，从而得出结论．