Question

7．图1是边长分别为4$\sqrt{3}$和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起（C与O重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△ODE绕点C顺时针旋转30°，后得到△ODE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于F（图2）：
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）在（1）的条件下将△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）．
探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．
（3）将图1中△ODE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后奖△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）（图4）．
探究：在图4中，线段ON•EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON•EM的值，如果有变化，请你说明．

Answer 1

分析 （1）可通过证三角形BEC和ACD全等来得出BE=AD；
（2）由于重合部分的面积无法直接求出，因此可用△RPQ的面积减去△RST的面积来求得（S、T为RP、RQ与AC的交点）．△PRQ的面积易求得，关键是△RST的面积，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°-∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的长即可．上面已经求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ-QT=RQ-QC=3-x，然后根据△RTS中特殊角的度数，即可得出RS和ST的长，进而可得出y与x的函数关系式；
（3）本题可通过证△GEM和△NGO相似来求解．

解答 解：（1）BE=AD．
证明：如图2，∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）如图3，在△CQT中
∵∠TCQ=30°∠RQP=60°，
∴∠QTC=30°，
∴∠QTC=∠TCQ，
∴QT=QC=x，
∴RT=2-x，
∵∠RTS+∠R=90°
∴∠RST=90°
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（2-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（2-x）²+$\sqrt{3}$（0≤x≤2）；

（3）ON•EM的值不变，
理由为：如图4，∵∠AGB=60°，
∴∠MGE+∠NGO=120°，
∵∠GNO+∠NGO=120°，
∴∠MGE=∠GNO，
∵∠E=∠O，
∴△EMG∽△OGN，
∴$\frac{EM}{OG}$=$\frac{EG}{ON}$，
∴ON•EM=OG•EG=1．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及二次函数的应用等知识．此题难度较大，解决问题的关键是方程思想与数形结合思想的综合应用．