Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y铀的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状；
（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出△ABM面积关系式，并求出当△ABM面积最大时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．
（2）通过计算证明：BC²+AB²=AC²，利用勾股定理的逆定理即可判断．
（3）如图，设M（m，-m²+2m+3）连接OM、MB、MA，根据S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△AOB，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解该方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点C（1，4），
∵A（3，0），B（0，3），
∴AB=3$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{2}$，
∵BC²+AB²=2+18=20，AC²=20，
∴BC²+AB²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（3）如图，设M（m，-m²+2m+3）连接OM、MB、MA．
∵S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△AOB，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×3×（m+-m²+2m+3）-$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$时，△ABM面积的最大值为$\frac{27}{8}$．此时点M坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查二次函数的综合题、勾股定理的逆定理、两点间距离公式、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．