Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF．

（1）求证：四边形EBFD是菱形；

（2）若BK=3EK，AE=4，求四边形EBFD的周长．

Answer 1

【答案】见解析；32

【解析】

（1）四边形ABCD是平行四边形，可以证明△DEO≌△BFO，可得OE=OF，从而四边形EBFD是平行四边形，根据EF⊥BD，进而可得平行四边形EBFD是菱形；

（2）证明△AEK∽△CBK，对应边成比例可得BC=12，进而求出DE的长，可得菱形的周长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO=∠FBO，

OB=OD，

∠EOF=∠FOB，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴平行四边形EBFD是菱形；

（2）∵AE∥BC，

∴△AEK∽△CBK，

∴，

∵BK=3EK，AE=4，

∴，

∴BC=12，

∴AD=BC=DE+AE=DE+4=12

∴DE=8，

∴菱形EBFD的周长为4DE=32．

答：四边形EBFD的周长为32．