题目内容
如图：等边△ABC的边长为1，P为AB边上的一个动点（不包括A、B），过P作PQ⊥BC于Q，过Q作QR⊥AC于R，再过R作RS⊥AB于S．设AP=x，AS=y．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）①若S、P重合点为T，求此时x的取值；
②若S在BP上，求x的取值范围；
③若S在AP上，求x的取值范围．
（3）若S、P重合点为T，试说明当S在BP上时，P、S中的哪一个更接近T点．
考点：等边三角形的性质,含30度角的直角三角形
专题：动点型
分析：（1）设AP=x，根据题意得：BP=1-x，由△ABC为等边三角形，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R，RS⊥AB于S．得出∠BPQ=∠CQR=∠ARS=30°，得出线段之间的关系，列出y，x的关系式．
（2）当S与P重合为T时，则y=x，得到x的值，当S在BP上时，则y＞x，得到0＜x＜
，当S在AP上时，则y＜x，得到
＜x＜1，
（3）当S在BP上时，列出TP及ST的式子比较大小即可．
（2）当S与P重合为T时，则y=x，得到x的值，当S在BP上时，则y＞x，得到0＜x＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（3）当S在BP上时，列出TP及ST的式子比较大小即可．
解答：解：（1）设AP=x，根据题意得：BP=1-x，
∵△ABC为等边三角形，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R，RS⊥AB于S．
∴∠BPQ=∠CQR=∠ARS=30°，
∴BQ=
BP=
，QC=1-BQ=
，CR=
QC=
，AR=1-CR=
，
∵AS=y，
∴y=
×
=
，其中：0＜x＜1．
（2）当S与P重合为T时，则y=x，得到x=
，
当S在BP上时，则y＞x，得到0＜x＜
，
当S在AP上时，则y＜x，得到
＜x＜1，
（3）当S在BP上时，TP=
-x，ST=y-
=
（
-x），当0＜x≤
时，显然ST＜TP，所以S更接近T点．
∵△ABC为等边三角形，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R，RS⊥AB于S．
∴∠BPQ=∠CQR=∠ARS=30°，
∴BQ=
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| 2 |
| 1-x |
| 2 |
| 1+x |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1+x |
| 4 |
| 3-x |
| 4 |
∵AS=y，
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 3-x |
| 4 |
| 3-x |
| 8 |
（2）当S与P重合为T时，则y=x，得到x=
| 1 |
| 3 |
当S在BP上时，则y＞x，得到0＜x＜
| 1 |
| 3 |
当S在AP上时，则y＜x，得到
| 1 |
| 3 |
（3）当S在BP上时，TP=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题的关键是根据含30度角的直角三角形找出线段之间的关系．
练习册系列答案
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已知：在△ABC中，AD为中线，F为AB上一点，CF交AD于E，求证：
如图，AB、CD是半径为10的圆O的两条弦，AB=16，CD=12，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于F，P为EF上任意一点，求PA+PC的最小值．