Question

1．已知关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0有实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是方程的两根，求n的值和三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）方程有实数根，则△≥0，建立关于n的不等式，求出m的取值范围．
（2）由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x²-6x+n-1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x²-6x+n-1=0有两个相等的实数根，由△=（-6）²-4（n-1）=0可的结果．

解答 解：（1）依题意得：△=（-6）²-4（n-1）≥0，
即10-n≥0，
解得n≤10；

（2）∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x²-6x+n-1=0得，2²-6×2+n-1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x²-6x+n-1=0有两个相等的实数根，
∴△=（-6）²-4（n-1）=0
解得：n=10，
综上所述，n=10．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的应用．解题时，注意分类讨论思想的应用．