Question

如图，AB是半圆的直径，C是半圆弧上一点，CD⊥AB于D，
（1）若tan∠BCD=

1

2

，AB=10，求CD的长；
（2）若AB=8，BD=2，设两弓形的面积（图中阴影部分）为S₁和S₂，求S₁-S₂．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据等角的三角函数值相等和勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求出CD的长；
（2）根据扇形的面积公式求出S₁和S₂，再相减即可．

解答：解：（1）∵∠B+∠CAD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴tan∠CAB=tan∠BCD=

1

2

，
∴AC=2BC，
∴BC²+（2BC）²=AB²，
∴BC²+（2BC）²=100，
∴BC²=20，
∵BD=

1

2

CD，
∴BD²+CD²=BC²，
∴（

1

2

CD）²+CD²=10²，
∴CD=4

5

．
（2）方法一：∵OA=OB，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S₁-S₂=

120

360

×π×4²-

60

360

×π×4²=

16

3

π-

8

3

π=

8

3

π；
方法二：S₁=

120

360

×π×4²-

1

2

×4×2

3

=

16

3

π-4

3

，
S₂=

60

360

×π×4²-

1

2

×4×2

3

=

8

3

π-4

3

，
∴S₁-S₂=

16

3

π-

8

3

π=

8

3

π．

点评：本题考查了扇形面积的计算，根据图形特点，找到公式适用的条件是解题的关键．