Question

4．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为$\frac{9}{4}$或1．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

解答 解：如图所示，当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形，

由折叠可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，
∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{EF=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF=CD=4，
设AP=FP=x，则BP=4-x，CP=x+4，
在Rt△BCP中，BP²+BC²=PC²，即（4-x）²+6²=（x+4）²，
解得x=$\frac{9}{4}$，即AP=$\frac{9}{4}$；

如图所示，当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°，
又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ=∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴$\frac{FQ}{ED}$=$\frac{QE}{DC}$=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{FQ}{3}$=$\frac{QE}{4}$=$\frac{3}{5}$，
解得FQ=$\frac{9}{5}$，QE=$\frac{12}{5}$，
∴AQ=HF=$\frac{3}{5}$，AH=$\frac{9}{5}$，
设AP=FP=x，则HP=$\frac{9}{5}$-x，
∵Rt△PFH中，HP²+HF²=PF²，即（$\frac{9}{5}$-x）²+（$\frac{3}{5}$）²=x²，
解得x=1，即AP=1．
综上所述，AP的长为1或$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．