Question

11．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边的中点，连接AD，过点A作AE∥BC，且AE=CD，连接EC．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）如果AC=a，tan∠ABC=$\frac{1}{3}$，写出求菱形ADCE的面积的思路．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出AD=CD，即可得出结论；
（2）由中线的性质得出△ABC的面积=2△ACD的面积，由菱形的性质得出菱形ADCE的面积=2△ACD的面积，得出菱形ADCE的面积=△ABC的面积，由三角函数得出AB=3a，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵AE∥BC，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BAC=90°，D是BC边的中点，
∴AD=BD=CD．
∴平行四边形ADCE是菱形．
（2）解：∵D是BC边的中点，
∴△ABC的面积=2△ACD的面积，
∵四边形ADCE是菱形，
∴菱形ADCE的面积=2△ACD的面积，
∴菱形ADCE的面积=△ABC的面积，
∵∠BAC=90°，AC=a，tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=3AC=3a，
∴菱形ADCE的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{3}{2}$a²．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、三角函数的运用；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．