Question

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AC=CG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．

Answer 1

分析 （1）利用平行分线段成比例定理即可证明．
（2）分两种情形讨论①如图1中，若∠CDB=∠CPB，②如图2中，若∠PCB=∠CDB，分别求解即可．

解答 证明：∵BF∥DE，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AC}{CG}$，
∵AD=BD，
∴AC=CG．
（2）解：当PB=5或$\frac{64}{5}$时，△BCP与△BCD相似；
在△ABC和△GBC中：
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CG}\\{∠ACB=∠GCB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG
∴∠DBC=∠CBP，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴CD=5，
∵∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠DCB=∠BCP，如图1：
在△BCP与△BCD中
∠DCB=∠BCP，
BC=BC，
∠DBC=∠CBP，
∴△BCP≌△BCD（ASA），
∴BP=CD=5；
第二种情况：若∠PCB=∠DCB，如图2：
∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BP}$，
∴BP=$\frac{64}{5}$，
综上所述：当PB=5或$\frac{64}{5}$时，△BCP与△BCD相似．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考常考题型．