Question

1．如图，已知∠AOB=30°，以O为圆心、a为半径画弧交OA、OB于A₁、B₁，再分别以A₁、B₁为圆心、a为半径画弧交于点C₁，以上称为一次操作．再以C₁为圆心a为半径重新操作，得到C₂．重复以上步骤操作，记最后一个两弧的交点（离点O最远）为C_K，则点C_K到射线OB的距离为（　　）

• A． $\frac{a}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$a
• C． a
• D． $\sqrt{3}$a

Answer 1

分析 根据作图分别作出C₁、C₂、C₃，由作图可知OB₁=B₁C₁=B₂C₁=B₂C₂=B₃C₂=B₃C₃=a且∠BOC₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，利用等边对等角和三角形外角性质得出∠B₁OC₁=∠B₁C₁O=15°、∠B₁B₂C₁=∠B₂B₁C₁=30°、∠B₂C₂C₁=∠B₂C₁C₂=45°、∠B₂B₃C₂=∠B₃B₂C₂=60°、∠B₃C₃C₂=∠B₃C₂C₃=75°，利用内角和定理知∠C₃B₃C₂=30°，从而得∠C₃B₃O=∠C₃B₃C₂+∠B₂B₃C₂=90°，即C₃B₃⊥OB，即最后一个两弧的交点为C₃，从而得出答案．

解答 解：如图所示，

由作图可知OB₁=B₁C₁=B₂C₁=B₂C₂=B₃C₂=B₃C₃=a，且∠BOC₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=15°，
∴∠B₁OC₁=∠B₁C₁O=15°，
∴∠B₁B₂C₁=∠B₂B₁C₁=∠B₁OC₁+∠B₁C₁O=30°，
∴∠B₂C₂C₁=∠B₂C₁C₂=∠B₁OC₁+∠B₁B₂C₁=45°，
∴∠B₂B₃C₂=∠B₃B₂C₂=∠B₁OC₁+∠B₂C₂C₁=60°，
∠B₃C₃C₂=∠B₃C₂C₃=∠B₁OC₁+∠B₂B₃C₂=75°，
则∠C₃B₃C₂=180°-（∠B₃C₃C₂+∠B₃C₂C₃）=30°，
∴∠C₃B₃O=∠C₃B₃C₂+∠B₂B₃C₂=90°，即C₃B₃⊥OB，
∴最后一个两弧的交点C₃到射线OB的距离为C₃B₃=a，
故选：C．

点评 本题主要考查角平分线的基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图和等边对等角、三角形的外角性质、内角和定理及垂直的定义是解题的关键．