如图.在△ABC中.∠C=90°.正方形CDEF的顶点D在边AC上.点F在射线CB上．设CD=x.正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S.S关于x的函数图象如图所示(其中0＜x≤m.m＜x≤2.2＜x≤n.函数的解析式不同)(1)填空:m的值为$\frac{3}{2}$,(2)求S关于x的函数解析式.并写出x的取值范围,(3)S的值能否为5?若能.求出此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF的顶点D在边AC上，点F在射线CB上．设CD=x，正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n，函数的解析式不同）
（1）填空：m的值为$\frac{3}{2}$；
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）S的值能否为5？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．

分析（1）根据图象信息列出方程：m²=$\frac{9}{4}$即可解决．
（2）分三种情形讨论：①0＜x≤$\frac{3}{2}$，②$\frac{3}{2}$＜x≤2，③2＜x≤6，分别画出图象求出s与x的关系即可．
（3）利用（2）的结论列出方程解决即可．

解答解：（1）在0＜x≤m时，显然正方形在三角形内，
此时S=CD•CF=x²．
令S=$\frac{9}{4}$，即$\frac{9}{4}$=m²，
解得：m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{3}{2}$．
（2）结合S关于x的函数图象变化可知：
BC=2，当CD=DE=$\frac{3}{2}$时，点E在线段AB上．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}$，即$\frac{AC-\frac{3}{2}}{AC}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
解得：AC=6．
∴n=6．
①当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，S=x²；
②当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，如图1中，

∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{CB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DM}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$（6-x），EM=ED-DM=$\frac{4}{3}$x-2，
由△NEM∽△ACB得到$\frac{NE}{AC}=\frac{EM}{BC}$，∴NE=3EM=4x-6，
∴s=S_{正方形CDEF}-S_△MNE=x²-$\frac{（4x-6）^{2}}{6}$．
③2＜x≤6时，如图2中，

s=S_△ABC-S_△ADM=6-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=6-$\frac{（6-x）^{2}}{6}$．
综上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{（0＜x≤\frac{3}{2}）}\\{{x}^{2}-\frac{（4x-6）^{2}}{6}}&{（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{6-\frac{（6-x）^{2}}{6}}&{（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，
（3）由图象可知O＜x≤2时，s不可能为5，
∴6-$\frac{（6-x）^{2}}{6}$=5，
∴（6-x）²=6，
∴x=6-$\sqrt{6}$（或6+$\sqrt{6}$不合题意舍弃）．
∴x=6-$\sqrt{6}$时，s=5．