Question

11．【探究】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°CD是AB边上的中线，DE⊥BC于E．P是线段CB上一点，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，请猜想BC、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【推广】若图中∠A的度数为α（0°＜α＜90°），点P在射线CB上（不与B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连结BF，直接写出BC、BF、BP三者之间的数量关系．

Answer 1

分析 【探究】求出DC=DB，∠CDB=60°，根据旋转的性质求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根据SAS推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质求出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；
【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF-BP=BC，①如图1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP=BF，根据线段的和差即可得到结论；②如图2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，根据线段的和差即可得到即可．

解答 解：【探究】DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=BC，
理由如下：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°
∴DC=DB，∠CDB=60°．
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
又∵∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC；

【推广】当P在线段BC上时，BF+BP=BC，当P在BC延长线上时，BF-BP=BC，
理由是：①如图1，

∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α-∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
②当P在BC延长线上时，BF-BP=BC，
如图2，

∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC．

点评 本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．