Question

3．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，联结DE并延长至点F，使EF=AE，联结AF，CF，联结BE并延长交CF于点G．
（1）求证：BC=DF；
（2）若BD=2DC，求证：GF=2EG．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，由于CD=CE，得到△CDE是等边三角形，求得∠CDE=∠ABC=60°，CD=DE，推出四边形ABDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=DF，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠CDE=∠DCE=60°，CE=CD=DE，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠DFC，由相似三角形的性质得到$\frac{BD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠ABC=60°，CD=DE，
∴DF∥AB，
∵EF=AE，CD=DE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{DE}$，
∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB=DF，
又∵AB=BC，
∴BC=DF；
（2）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠DCE=60°，CE=CD=DE，
又∵BC=DF，
在△BCE和△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FDC，
∴∠CBE=∠DFC，
又∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}=\frac{DE}{EG}$，
又∵CD=DE，BD=2CD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{GF}{EG}=2$，
∴GF=2EG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．