Question

1．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点B出发，沿射线BC移动，过D、C、E三点作⊙O，点F为⊙O与射线AC的公共点，过F作⊙O的直径FP．当圆O与射线AC相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，点P移动路径的长（　　）

• A． $\frac{15}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$π
• C． $\frac{15}{2}$
• D． $\frac{15}{2}$π

Answer 1

分析 根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠CDP=∠ACB=定值，从而得到点P的移动的路线是线段CP，只需找到点P的起点与终点，求出该线段的长度即可．

解答 解：如图1，连接CP，
∵FP为⊙O的直径，
∴∠FCP=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCP，
∴∠DCP=∠ACB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，BC=AD=4，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴当AC与⊙O相切时，F与C重合，如图2所示，
∵∠PCD=∠ACB=定值，点P的起点为C，终点为P，如图2所示，
∴点P的移动路线是线段CP，
∵∠DCP=∠BCA，∠CDP=∠B=90°，
∴△CDP∽△CBA，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CP}{CA}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{CP}{5}$，
∴CP=$\frac{15}{4}$，
∴点P移动路线的长为$\frac{15}{4}$，
故选A．

点评 本题考查了矩形性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDP=∠ACB=定值是解决本题的关键．