Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为5，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，可得AD⊥BD，根据三线合一的性质，可得∠1=∠2，继而证得OD∥AC，又由DE⊥AC，可得DE⊥OD，即可判定EF是⊙O的切线；
（2）由⊙O的半径为5，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，可求得AD的长，继而求得AE的长，易证得△FOD∽△FAE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
即DE⊥EF，
∴EF是⊙O的直径；

（2）解：∵OA=5，
∴AB=10，cos∠DAB=$\frac{4}{5}$，
∴AD=8，
∵∠1=∠2，
∴cos∠2=$\frac{4}{5}$，
∴AE=6.4，
∵OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴FO：FA=OD：AE，
即（FB+5）：（FB+10）=5：6.4，
解得：FB=$\frac{90}{7}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．