Question

5．关于x的一元二次方程x²-（k-1）x-k-1=0
（1）求证：无论x取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两根为x₁、x₂，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出△，再根据△的值判断即可；
（2）假设x₁²+x₂²=2，变形后代入，得出关于k的方程，求出即可．

解答 （1）证明：x²-（k-1）x-k-1=0，
△=[-（k-1）]²-4（-k-1）=k²+2k+5=（k+1）²+4＞0，
所以无论x取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2，
理由是：假设存在，
根据根与系数的关系得：x₁+x₂=k-1，x₁•x₂=-k-1，
x₁²+x₂²=2，
由方程的两根的平方和为2得：（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2，
（k-1）²-2（-k-1）=2，
解得：k²+1=0，
不论k为何值，k²永远不能为-1，
所以不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2．

点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式等知识点，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．