Question

12．如图，在正方形ABCD中，等边三角形DMN的顶点M、N分别在AB和BC上，若等边三角形DMN的边长为$2\sqrt{2}$，则正方形ABCD的边长为1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为x，由正方形的性质和等边三角形的性质证出Rt△ADM≌Rt△CDN，得出AM=CN，因此BM=BN，证出△BMN是等腰直角三角形，得出BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN=2，得出AM=x-2，在Rt△ADM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：设正方形ABCD的边长为x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=x，∠A=∠B=∠C=90°，
∵△DMN是等边三角形，
∴DM=MN=DN，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），
∴AM=CN，
∴BM=BN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴AM=x-2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
x²+（x-2）²=（2$\sqrt{2}$）²，
解得：x=1±$\sqrt{3}$（负值舍去），
∴x=1+$\sqrt{3}$，
即正方形ABCD的边长为1+$\sqrt{3}$；
故答案为：1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，难度适中，证明三角形是等腰直角三角形和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．