Question

4．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN为菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求Sin∠ABM的值．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△MOD≌△NOB，得出MO=NO，证出四边形BNDM是平行四边形，再由MN⊥BD，即可得出四边形BNDM为菱形；
（2）由菱形的性质得出BM=MD，BM=MD=x，则AM=8-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BM、AM，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴MD∥BN，
∴∠MDO=∠NBO，
又MN平分BO，
∴BO=DO，
在△MOD和△NOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠NBO}&{\;}\\{∠MOD=∠NOB}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴MO=NO，
∴四边形BNDM是平行四边形，
又MN⊥BD，
∵四边形BNDM为菱形；
（2）解：由（1）得：四边形BNDM为菱形，
∴BM=MD，
设BM=MD=x，则AM=8-x，
在△ABM中，由勾股定理得：
4²+（8-x）²=x²
解得：x=5，
∴BM=5，AM=3，
∴sin∠ABM=$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{5}$

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法，证明四边形是菱形是解决问题的关键．