Question

8．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则直线的解析式是：y=-x+6；

（2）在y=-x+6中，令x=0，解得：y=6，
S_△OAC=$\frac{1}{2}$×6×4=12；

（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
则直线的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{4}$时，
∴当M的横坐标是$\frac{1}{2}$×4=2，
在y=$\frac{1}{2}$x中，当x=1时，y=$\frac{1}{2}$，则M的坐标是（1，$\frac{1}{2}$）；
在y=-x+6中，x=1则y=5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M₁（1，$\frac{1}{2}$）或M₂（1，5）．
当M的横坐标是：-1，
在y=$\frac{1}{2}$x中，当x=-1时，y=7，则M的坐标是（-1，7）；
综上所述：M的坐标是：M₁（1，$\frac{1}{2}$）或M₂（1，5）或M₃（-1，7）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出是解题关键．