Question

16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，M，N为斜边A，B上两点，且满足BN²+AM²=MN²，则∠MCN=45°．

Answer 1

分析 作∠BCD=∠ACM，并截取CM=CD，连接DN，证明△BCD≌△ACM，得到DN=MN，然后证明△DCN≌△MCN即可求解．

解答 解：作∠BCD=∠ACM，并截取CM=CD，连接DN．
∵在△BCD和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCD}\\{CM=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACM，
∴BD=AM，∠DBC=∠A=45°，∠DCM=∠BCA=90°，
又∵∠CBA=45°，
∴∠DBA=90°，
∴BD²+BN²=DN²，
又∵BN²+AM²=MN²，
∴DN=MN．
∴在△DCN和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CD}\\{CN=CN}\\{DN=MN}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△MCN，
∴∠DCN=∠MCN=$\frac{1}{2}$∠DCM=45°．
故答案是：45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形．