Question

20．如图，△ABC是边长为m的正三角形，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，AE，BF交于点P，BF，CD交于点Q，CD，AE交于点R，若$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{CF}{CA}$=k（0＜k＜$\frac{1}{2}$）．
（1）求∠PQR的度数；
（2）求证：△ARD∽△ABE；
（3）求△PQR与△ABC的面积之比（用含k的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABP≌△BCQ≌△CAR，推出∠APB=∠BQC=∠ARC，推出180°-∠APB=180°-BQC=180°-ARC，即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，由此即可解决问题．
（2）只要证明∠ARD=∠ABE=60°即可解决问题．
（3）想办法求出等边三角形△PQR与△ABC的边长即可解决问题．

解答 解：（1）∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{CF}{CA}$=k，△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AD=BE=CF，
∴△ABE≌△BCF≌△CAD，
∴∠BAE=∠CBQ=∠ACD，∴∠ABP=∠BCQ=∠CAR，
∴△ABP≌△BCQ≌△CAR，
∴∠APB=∠BQC=∠ARC，
∴180°-∠APB=180°-BQC=180°-ARC，
即∠RPQ=∠PQR=∠PRQ，
∵∠RPQ+∠PQR+∠PRQ=180°，
∴∠RPQ=∠PQR=∠PRQ=60°．
∴∠PQR=60°．

（2）∵△PQR是等边三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠ARD=∠PRQ=60°，
∴∠ARD=∠ABC=∠ABE，
∵∠DAR=∠EAB，
∴△ARD∽△ABE．

（3）作AH⊥BC于H．易知BH=CH=$\frac{m}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，BE=km，EH=$\frac{1}{2}$m-km，
在Rt△AEH中，AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-k+1}$•m，
∵△ARD∽△ABE，
∴$\frac{AR}{m}$=$\frac{RD}{km}$=$\frac{km}{AE}$，
∴AR=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}$•m，RD=$\frac{{k}^{2}}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}$•m，PE=RD=$\frac{{k}^{2}}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}$•m，
∴AP=AE-PE=$\frac{1-k}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}$•m，
当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，RP=AP-AR=$\frac{1-2k}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}$•m，
∵△PQR，△ABC都是等边三角形，
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}（\frac{1-2k}{\sqrt{{k}^{2}-k+1}}m）^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}{m}^{2}}$=$\frac{（1-2k）^{2}}{{k}^{2}-k+1}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．等边三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．