Question

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且∠ABC=90°，AB=24，BC=18，P为锑形ABCD的对角线AC上的一点，AP=20，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线AB于M、N两点，且∠MPN=∠CAB．设AM=x，AN=y（y＞x＞0）．
（1）求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当x取何值时，直径为AM的⊙O₁与直径为PC的⊙O₂相切？
（3）若直线PM、PN与边DC分别相交于点E，F，当△PEF为等腰三角形时，直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PH⊥AB于H．在Rt△ABC中，可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{8}^{2}}$=30，由PH∥BC，PH=20，推出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AH}{AB}$，可得PH=12，AH=16，由△NPM∽△NAP，推出PN²=NM•NA，推出PH²+HN²=NM•NA，可得12²+（y-16）²=（y-x）•y，由此即可解决问题．
（2）如图2中，作O₂K⊥AB于K，根据两圆相切时，圆心距等于半径之和，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①如图3中，当EF=EP时，构建方程组解决问题，构建方程组解决问题．②如图4中，当PE=PF时．③如图5中，当FP=FE时，易知点M与点A重合，此时x=0．

解答 解：（1）如图1中，作PH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=24，BC=18，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{8}^{2}}$=30，
∵PH∥BC，PH=20，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AH}{AB}$，
∴PH=12，AH=16，
∵∠NPM=∠PAN，∠PNM=∠PNA，
∴△NPM∽△NAP，
∴PN²=NM•NA，
∴PH²+HN²=NM•NA，
∴12²+（y-16）²=（y-x）•y，
∴y=$\frac{400}{32-x}$（0≤x＜32）．

（2）如图2中，作O₂K⊥AB于K，

∵O₂K∥BC，
∴$\frac{{O}_{2}K}{BC}$=$\frac{A{O}_{2}}{AC}$=$\frac{AK}{AB}$，
∴AK=20，O₂K=15，
在Rt△O₁O₂K中，O₁O₂=$\sqrt{{O}_{2}{K}^{2}+{O}_{1}{K}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+（20-\frac{1}{2}x）^{2}}$，
当两圆相切时，O₁O₂=5+$\frac{1}{2}$x，
∴15²+（20-x）²=（5+$\frac{1}{2}$x）²，
解得x=24．
∴当x为24时，⊙O₁与⊙O₂相切．

（3）①如图3中，当EF=EP时，

∵CD∥AN，
∴∠EFP=∠PNM，
∵∠EFP=∠EPF=∠NPM=∠PAN，
∴PA=PN，∵PH⊥AN，
∴AH=HN=20，
∴y=AN=40，
∴40=$\frac{400}{32-x}$，
∴x=22．

②如图4中，当PE=PF时．

易证PM=PN，∵PH⊥NM，
∴HM=HN，
∴20-x=y-20，
∴y=40-x，
∴40-x=$\frac{400}{32-x}$，
解得X=36-4$\sqrt{26}$或36+4$\sqrt{26}$（舍弃），
∴x=36-4$\sqrt{26}$．
③如图5中，当FP=FE时，易知点M与点A重合，此时x=0．

综上所述，当△PEF为等腰三角形时，x的值为0或22或36-4$\sqrt{26}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．