Question

如图N2­12，在平面直角坐标系中，直线y＝－3x－3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝x²＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧)．

(1)求抛物线的解析式及点B坐标；

(2)若点M是线段BC上的一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

(3)试探究当ME取最大值时，在抛物线上、x轴下方是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：(1)当y＝0时，－3x－3＝0，x＝－1，∴A(－1, 0)．

当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．

∵抛物线过A，C两点，

抛物线的解析式是y＝x²－2x－3.

当y＝0时， x²－2x－3＝0，解得 x₁＝－1，x₂＝3.

∴ B(3, 0)．

(2)由(1)知 B(3, 0) , C(0，－3)，

直线BC的解析式是y＝x－3.

设M(x，x－3)(0≤x≤3)，则E(x，x²－2x－3)

∴ME＝(x－3)－( x²－2x－3)＝－x²＋3x＝－²＋.

∴当x＝时，ME的最大值为.

(3)不存在．由(2)知 ME 取最大值时，

ME＝，

∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM.

∴P₁或 P₂.

当P₁时，由(1)知y＝x²－2x－3＝－3≠－，∴P₁不在抛物线上．

当P₂时，由(1)知y＝x²－2x－3＝0≠－，

∴P₂不在抛物线上．

综上所述：在抛物线上x轴下方不存在点P，使以P，M，F，B为顶点的四边形是平行四边形