Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE

（Ⅰ）求证：AE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ）证明：连结OA，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE＝∠ADO ，

∵OA=OD，

∴∠OAD＝∠ADO ，

∴∠ADE＝∠OAD，

∴OA∥CE，

∵AE⊥CD，

∴AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切线；

（Ⅱ）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∵∠DBC=30°，

∴∠BDE＝120°，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE＝∠ADO=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD=OD=BD，

在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°，

∴AD== 2，

∴BD=4.