Question

【题目】如图是某导弹发射车在山顶A处进行射击训练的示意图，点A在y轴上，与原点O的距离是8百米（为了计算方便，我们把本题中的距离用百米作单位）．此导弹发射车在A处进行某个角度的射击训练，点M是导弹向右上射出后某时刻的位置．忽略空气阻力，实验表明：导弹射出t秒时，点M，A的水平距离是vt百米，点M与x轴（水平）的竖直距离是（8+vt﹣5t2）百米（v的值由发射者设定）．在点A和x轴上的点B处观测射击目标P的仰角分别是a和β，OB＝3百米，tanα＝．tanβ＝．

（1）若v＝7，完成下列问题：

①当点M，A的水平距离是7百米时，点M到x轴的距离是　 　百米；

②设点M坐标为（x，y），求y与x的关系式（不必写x的取值范围）．

（2）按（1）的射击方式，能否命中目标P？请说明理由．

（3）目标以m百米/秒的速度从点P向右移动，当v时，若能使目标被击中，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①10；②y＝﹣；（2）能，理由见解析；（3）0＜m≤．

【解析】

（1）①根据水平距离是7百米可知：vt＝7，将v＝7代入得t＝1，再代入点M与x轴（水平）的竖直距离是（8+vt﹣5t2）百米中，可得结论；

②根据点M坐标为（x，y），与已知点M（vt，8+vt﹣5t2）（v＝7），列方程组可得结论；

（2）计算点P的坐标，代入抛物线的解析式，符合则能命中目标P；

（3）由（2）知：7≤v≤6，将v的最大值代入M的横纵坐标中表示：y与x的关系式，由（2）知：P（7，10），不论P怎样向右平移，点P的纵坐标不变，都是10，代入可得x的值，计算时间，从而得结论．

（1）①当v＝7时，vt＝7，

∴7t＝7，t＝1，

∴8+vt﹣5t2＝8+7×1﹣5×12＝15﹣5＝10，

故答案为：10；

②∵点M坐标为(x，y)，

由题意得：M(vt，8+vt﹣5t2)（v＝7），

∴,

∴t＝x，

∴y＝﹣；

（2）能，理由如下，

作PC⊥x轴于点C，AD⊥PC于点D，如图所示，

设OC＝AD＝a，则BC＝a﹣3，

由tanα＝，tanβ＝，得：PD＝a，PC＝（a﹣3），

而PC﹣PD＝8，即（a﹣3）﹣a＝8，

解得：a＝7，则PC＝×（7﹣3）＝10，

∴点P的坐标为(7，10)，

当x＝7时，y＝﹣＝10，

∴抛物线过点P，即能命中目标P；

（3）由题意得：v的值越大，炮弹向右射的越远，且能越快追上目标，

由（2）知：7≤v≤6，

当v＝6时，x＝6t，y＝8+6t﹣5t2，则y＝﹣x2+x+8，

∵目标向右移动，y＝10，即﹣x2+x+8=10，

解得：x1＝12，x2＝（舍），

∴当y＝10时，炮弹向右最远射出12百米，用时： ＝＝（秒），

∴m≤12﹣7，即m≤，

∴0＜m≤．