Question

18．如图所示三组平行线分别有m，n，k条，在此图形中：
（1）共有多少个三角形？
（2）共有多少个平行四边形？

Answer 1

分析 （1）当三组平行线各有一条时，有1个三角形，当三组平行线各有两条时，有2×2×2=8个三角形，当三组平行线各有三条时，有3×3×3=27个三角形，…当三组平行线分别有m，n，k条，三角形的个数为m•n•k；
（2）当三组各有两条，有3个平行四边形，当三组各有三条，有3×3+3×3+3×3个平行四边形，当三组各有四条，有6×6+6×6+6×6个平行四边形，…当三组平行线分别有m，n，k条，共有（1+2+3+…+m-1）（1+2+3+••+n-1）+（1+2+3+4+…k-1）（1+2+3+…+m-1）+（1+2+3+••+n-1）（1+2+3+4+…k-1）个平行四边形．

解答 解：（1）当三组平行线各有一条时，有1个三角形，
当三组平行线各有两条时，有2×2×2=8个三角形，
当三组平行线各有三条时，有3×3×3=27个三角形，
…
当三组平行线分别有m，n，k条，三角形的个数为m•n•k；
（2）当三组各有两条，有3个平行四边形，
当三组各有三条，有3×3+3×3+3×3个平行四边形，
当三组各有四条，有6×6+6×6+6×6个平行四边形，
…
当三组平行线分别有m，n，k条，
共有（1+2+3+…+m-1）（1+2+3+••+n-1）+（1+2+3+4+…k-1）（1+2+3+…+m-1）+（1+2+3+••+n-1）（1+2+3+4+…k-1）=$\frac{1}{4}$m（m-1）n（n-1）+$\frac{1}{4}$m（m-1）k（k-1）+$\frac{1}{4}$k（k-1）n（n-1）个平行四边形．

点评 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，从简单到复杂，找出规律解决问题．