Question

3．设二次函数y₁，y₂的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-2c，b=-2d，且开口方向相同时，则称y₁是y₂的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²+nx和二次函数y₂=x²-2nx+1，若函数y₁恰是y₁+y₂的“反倍顶二次函数”，求n的值．

Answer 1

分析 （1）先求出y=x²+x+1的顶点坐标，然后根据反倍顶二次函数”的定义求出答案；
（2）先求出y₁和y₁+y₂的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a=-2c，b=-2d，且开口方向相同求出n的值．

解答 解：（1）∵y=x²+x+1，
∴y=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴二次函数y=x²+x+1的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（$\frac{1}{4}$，-$\frac{3}{8}$），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=（x-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{3}{8}$=x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{16}$；

（2）y₁=x²+nx=（x+$\frac{n}{2}$）²-$\frac{{n}^{2}}{4}$，
顶点坐标为（-$\frac{n}{2}$，-$\frac{{n}^{2}}{4}$），
y₁+y₂=x²+nx+x²-2nx+1=2x²-nx+1=2（x-$\frac{n}{4}$）²+1-$\frac{{n}^{2}}{8}$，
顶点坐标为（$\frac{n}{4}$，1-$\frac{{n}^{2}}{8}$），
由于函数y₁恰是y₁+y₂的“反倍顶二次函数”，
则-$\frac{{n}^{2}}{4}$=-2×（1-$\frac{{n}^{2}}{8}$），
解得：n=±2．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“反倍顶二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．