Question

13．（1）因为（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2，所有x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，
     因为（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，所有x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2；
（2）已知x+$\frac{1}{x}$=5，求下列各式的值：①x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；②（x-$\frac{1}{x}$）²．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式可得（x+$\frac{1}{x}$）²与x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x-$\frac{1}{x}$）²与x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$之间的关系；
（2）根据（1）的变形代入计算即可求解．

解答 解：（1）因为（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2，所有x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，
     因为（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，所有x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2；
（2）∵x+$\frac{1}{x}$=5，
∴①x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$
=（x+$\frac{1}{x}$）²-2
=25-2
=23；
②（x-$\frac{1}{x}$）²
=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2
=23-2
=21．
故答案为：x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2，（x+$\frac{1}{x}$）²-2；x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，（x-$\frac{1}{x}$）²+2．

点评 本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．