题目内容
16．
如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，折叠该纸片使点B落在射线BC上的F点，折痕与AB、BC的交点分别为D、E．当F在射线BC上移动时，折痕的端点D，E也随之移动．（1）如图1，过点D作DG⊥AC于点G．
①求证：四边形CEDG是矩形
②随着折叠后F位置的不同，连接GE，试求GE的最小值
（2）如图2，折叠该纸片后，使点F与点C重合
①DE的长4
②将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三片，求这三片图形的面积比．
分析 （1）①利用三个角是直角的四边形是矩形得出结论；
②因为矩形的对角线相等，所以GE的最小值就是CD的最小值，而CD的最小值就是CD⊥AB时对应的值，即直角△ABC斜边上的高，利用面积法求出；
（2）①根据中位线定理得：DE=$\frac{1}{2}$AB=4；
②利用DE∥AC得△APC∽△EPD，相似比为2，分别求出三片图形的面积，并计算其比值．
解答 
证明：（1）①如图1，∵DE为折痕，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵DG⊥AC，
∴∠DGC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CEDG是矩形；
②在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵矩形的对角线相等，
∴GE=CD，
∴CD的最小值就是GE的最小值，
点C到AB的距离=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
则GE的最小值为4.8；
（2）①如图3，由折叠得：DE⊥BC，CE=BE，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴AD=BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，
故答案为：4；
②如图3，∵DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∴△APC∽△EPD，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{AC}{DE}$=$\frac{2}{1}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵∠ACB=90°，AC=8，
∴S△ACE=$\frac{1}{2}$×AC×CE=$\frac{1}{2}$×8×3=12，
S△PCE=$\frac{1}{3}$S△ACE=$\frac{1}{3}$×12=4，
S△ADE+S△PDE=$\frac{1}{2}$DE•CE+$\frac{1}{2}$S△PCE=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4=8，
∴这三片图形的面积比=12：8：4=3：2：1．
点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、直角三角形的性质及折叠问题；熟练掌握折叠问题即是轴对称问题，折痕就是对应点连线的垂直平分线；在求线段的最小值时，利用矩形对角线相等的性质将其转化为求另一条线段的最小值，根据垂线段最短和面积法得出结论．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．| A． | 延长射线AB到C，使BC=$\frac{1}{2}$AB | B． | 延长线段AB到C，使BC=$\frac{1}{2}$AB | ||
| C． | 反向延长线段AB到C，使BC=$\frac{1}{2}$AB | D． | 反向延长射线AB到C，使BC=$\frac{1}{2}$AB |