Question

3．在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象：
y=1-x，y=x+1和 y=3x-1
（1）求y=1-x和 y=3x-1的交点A的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x＞1时3x-1＞x+1；
②当x＜0时1-x＞x+1；
（3）对于三个实数a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，如max{-1，2，3}=3，max{-1，2，a}=$\left\{\begin{array}{l}2（当a≤2时）\\ a（当a＞2时）\end{array}\right.$，请观察三个函数的图象，直接写出 max{1-x，x+1，3x-1}的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据解方程组可以求得y=1-x和 y=3x-1的交点A的坐标；
（2）根据一元一次不等式与一次函数的关系进行判断即可；
（3）分情况进行讨论，根据图象利用自变量取值范围得出函数值的大小关系，进而求出函数值，通过比较得出最小值．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}y=1-x\\ y=3x-1\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴y=1-x和 y=3x-1的交点A的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；

（2）①根据直线的位置可得，当x＞1时，3x-1＞x+1；
 ②根据直线的位置可得，当x＜0时，1-x＞1+x；
故答案为：＞1，＜0；

（3）根据三个函数图象，可得
当x≤0时，max{1-x，x+1，3x-1}=1-x≥1；
当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，max{1-x，x+1，3x-1}=x+1≥1；
当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，max{1-x，x+1，3x-1}=x+1≥$\frac{3}{2}$；
当x＞1时，max{1-x，x+1，3x-1}=3x-1≥2；
综上所述，max{1-x，x+1，3x-1}的最小值是1．

点评 此题主要考查了两条直线的交点问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．一次函数与一元一次不等式的关系，从函数图象的角度看，就是确定一条直线在另一条直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．此题综合性较强，由已知得出函数值并进行比较是解决问题的关键．