题目内容
7．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°、AC=BC=4，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时，点Q从点C出发沿CB-BA运动，点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度，在BA上的速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，当点P到达A点时，点Q随之停止运动，以CP、CQ为邻边作?CPMQ．设?CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y，点P的运动时间为x秒．（1）当点M落在AB上时，求x的值．
（2）当点Q在边CB上运动时，求y与x的函数关系式
（3）直接写出在P、Q两点整个运动过程中，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，x的取值范围．
分析 （1）只要证明四边形CPMQ是矩形，△MQB是等腰直角三角形，列出方程即可解决问题．
（2）分两种情形讨论即可①如图2中，①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是四边形CPMQ．②②如图3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2时，重叠部分是五边形CPEFQ．分别计算即可．
（3）根据图4与图5，结合（2）中图形，即可判断．
解答 解：（1）如图1中，
∵∠C=90°、AC=BC=4，四边形CPMQ是平行四边形，
∴四边形CPMQ是矩形，∠A=∠B=45°，
∴AB∥MQ，
∴∠MQB=∠C=90°，
∴∠QMB=∠B=45°，
∴PC=MQ=BQ，
∴2t+t=4，
∴t=$\frac{4}{3}$．
（2）如图2中，①当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，重叠部分是四边形CPMQ．
y=t•2t=2t2，
②如图3中，$\frac{4}{3}$＜t≤2时，重叠部分是五边形CPEFQ．
y=S四边形CPMQ-S△EFM=2t2-$\frac{1}{2}$（3t-4）2=-$\frac{5}{2}$t2+12t-8，
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{5}{2}{t}^{2}+12t-8}&{（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$．
（3）如图4中，当Q与B重合时，重叠部分是四边形，
如图5中，当点P与A重合时，重叠部分是三角形．
∴在P、Q两点整个运动过程中，当?CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，x的取值范围为$\frac{4}{3}$＜t＜2或t=4．
点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图形，属于中考常考题型．
名师点拨卷系列答案
如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（ ）| A． | 22° | B． | 32° | C． | 136° | D． | 68° |
如图，点P（m，1）是反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$图象上的一点，PT⊥x轴于点T，把△PTO
已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9当BD6时，△ABD∽△DBC．
已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．