Question

18．已知三角形两边之和是10，这两边夹角为30°，面积为$\frac{25}{4}$，求证：此三角形为等腰三角形．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥BC于点D，设AC=x（0＜x＜10），则BC=10-x，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半即可得出AD的值，根据三角形的面积结合△ABC的面积为$\frac{25}{4}$，即可求出x的值，进而可得出10-x的值，由x=10-x=5即可得出AC=BC，由此即可证得此三角形为等腰三角形．

解答 证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．
设AC=x（0＜x＜10），则BC=10-x，
∵∠C=30°，AD⊥BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x．
∵△ABC的面积为$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{4}$x²=$\frac{25}{4}$，
解得：x₁=5，x₂=-5（舍去）．
∵x=5，10-x=5，
∴AC=BC，
∴此三角形为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的面积，利用三角形的面积公式找出关于x的一元二次方程是解题的关键．