如图1.△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.点M是BC边上的一个动点.点B关于点M的对称点N在BC上(运动开始时.点M与点B重合.当点N到达点C时运动终止).过点M.N作BC的垂线.与折线B→A→C分别交于P.Q两点.设线段BM的长为x.四边形PQNM的面积为S.S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤$\frac{3}{2}$.$\frac{3}{2}$＜x≤a时.函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M是BC边上的一个动点，点B关于点M的对称点N在BC上（运动开始时，点M与点B重合，当点N到达点C时运动终止），过点M、N作BC的垂线，与折线B→A→C分别交于P、Q两点，设线段BM的长为x，四边形PQNM的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$＜x≤a时，函数的解析式不同）．
（1）填空：当PM=QN时，x的值为2；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

分析（1）由图2可知BC=$\frac{3}{2}$×4=6，即a=6÷2=3，根据PM=QN，由对称的性质得到关于x的方程，解方程即可求解；
（2）分两种情况：①0＜x≤$\frac{3}{2}$，②$\frac{3}{2}$＜x≤3，进行讨论可求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

解答解：由图2可知BC=$\frac{3}{2}$×4=6，即a=6÷2=3，
（1）依题意有：
x=6-2x，
解得x=2．
（2）①0＜x≤$\frac{3}{2}$，S=2x×2x÷2-x²÷2=$\frac{3}{2}$x²；
②$\frac{3}{2}$＜x≤3，S=（x+6-2x）（6-x-6+2x）÷2=-$\frac{1}{2}$x²+3x．
综上所述，S关于x的函数关系式是S=$\frac{3}{2}$x²（0＜x≤$\frac{3}{2}$）；S=-$\frac{1}{2}$x²+3x（$\frac{3}{2}$＜x≤3）．
故答案为：2．

点评此题考查了动点问题的函数图象，涉及到等腰三角形的性质，对称的性质，三角形的面积，四边形的面积，比较复杂．一般在解决动点问题时，采取数形结合与分类讨论的思想．