阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1.在△ABC中.AB=AC.E是BC上一点.点D在AE上.∠BDE=∠BAC=2∠CDE.连接BD.CD.求证:BD=2AD．小明通过探究发现.由已知条件.能够证明∠ABD=∠CAD.然后考虑将△ACD通过旋转.使BA与AC重合.∠ABD和∠CAD重合.因此得到辅助线:在BD上截取BF=AD.连接AF.从而可证△BAF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，E是BC上一点，点D在AE上，∠BDE=∠BAC=2∠CDE，连接BD、CD，求证：BD=2AD．
小明通过探究发现，由已知条件，能够证明∠ABD=∠CAD，然后考虑将△ACD通过旋转，使BA与AC重合，∠ABD和∠CAD重合，因此得到辅助线：在BD上截取BF=AD，连接AF，从而可证△BAF≌△ACD（如图2），使问题得到解决．

请回答：
（1）根据阅读材料请回答：△BAF与△ACD全等的依据是SAS（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）；
（2）证明小明发现的结论；
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AE=AD，连接BE，作AG⊥BE交BE延长线于点G，交CD于点F，BE=kAF，求k的值．

分析（1）如图2，作辅助线构建全等三角形，利用外角定理得：∠BDE=∠ABD+∠BAD，由∠BAC=∠BAD+∠DAC，得∠ABD=∠DAC；根据SAS证明全等；
（2）如图2，根据（1）中的△ABF≌△CAD得：∠BAF=∠ACD，根据外角定理证明∠CDE=∠FAD=∠AFD，得AD=DF，所以BD=2AD；
（3）如图3，同理作辅助线在BG上取一点H，使BH=AF，证明△ABH≌△CAF和△AEH≌△DAF，得BE=2AF，则k=2．

解答解：（1）如图2，在BD上截取BF=AD，连接AF，
∵∠BDE=∠ABD+∠BAD，∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∵∠BDE=∠BAC，
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠DAC，
∴∠ABD=∠DAC，
在△ABF和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠DAC}\\{BF=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAD（SAS）；
（2）如图2，∵△ABF≌△CAD，
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠CDE=∠DAC+∠ACD，
∠AFD=∠ABD+∠BAF，
∵∠DAC=∠ABD，
∴∠CDE=∠AFD，
∵∠BDE=2∠CDE，∠BDE=∠AFD+∠FAD，
∴2∠CDE=∠AFD+∠FAD，
∴∠CDE=∠FAD=∠AFD，
∴AD=DF，
∴BD=BF+DF=AD+AD=2AD；
（3）如图3，在BG上取一点H，使BH=AF，连接AH，
∵∠BAC=90°，
∴∠FAC+∠BAG=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠FAC=∠ABG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△CAF，
∴∠BAH=∠ACF，
∵∠GFC=∠FAC+∠ACF，∠AHG=∠ABG+∠BAH，
∴∠GFC=∠AHG，
∵∠AFD=∠GFC，
∴∠AFD=∠AHG，
∵∠AEH=∠AGB+∠EAG=90°+∠EAG，
∠DAF=∠DAE+∠EAG=90°+∠EAG，
∴∠AEH=∠DAF，
∵AD=AE，
∴△AEH≌△DAF，
∴AF=EH，
∴BH=EH=AF，
∴BE=2AF，
∵BE=kAF，
∴k=2．