Question

7．已知：如图，△ABC是等边三角形，D、F分别为CB、BA上的点，且AF=BD，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质推出∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，求出CD=BF，根据SAS证出△ACD≌△CBF即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠DAC，AD=CF，求出DE=CF，求出∠BDE=∠BCF，推出DE∥CF，根据平行四边形的判定推出即可；

解答 解：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，
∵BD=AF，
∴CD=BF，
∵在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠B}\\{CD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF（SAS），

（2）判断四边形CDEF的形状是平行四边形，
理由是：
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠DAC，AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF，
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE∥CF，
∵DE=CF，
∴四边形CDEF的形状是平行四边形；

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质．平行四边形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．