Question

【题目】如图，在中，，以为直径的与边，分别交于，两点，过点作于点．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）求证：为的中点；

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）连结、，如图1，先利用AB是圆的直径得到，再根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形中位线定理可得，而，进一步即可证得结论；

（2）连结，如图2，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质可得，从而DE=DC，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；

（3）易得，利用余弦的定义，分别在和中计算出AC与CH的长，则CE即可求出，然后计算即可得到的长．

解：（1）与相切．理由如下：

连结、，如图1，∵为直径，∴，即，

∵，∴，

而，∴为的中位线，∴，

∵，∴，∴为的切线；

（2）证明：连结，如图2，

∵四边形为的内接四边形，∴，

∵，∴，∴，∴DE=DC.

∵，∴，即为的中点；

（3）解：如图2，在中，∵，，∴.

在中，∵，∴，∴，

∴．