Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1），，理由见解析；（2）当时，（1）中的结论成立，理由见解析；（3）点O经过的路径长为．

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及△ACF各内角的度数，进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数，进而可得OD与OE的位置关系；

（2）延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示，先根据SAS证明≌，得，，再根据正方形的性质和旋转的性质推得，进一步在△ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出，再一次运用SAS推出≌，于是，进一步即可得出OE、OD的位置关系，然后再运用SAS推出≌，即可得OD与OE的数量关系；

（3）连接AO，如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断点O的运动路径，由可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.

解：（1），；理由如下：

由旋转的性质得：，，

∵四边形ABCD是正方形，∴，

∴，

∴，

∵，O为CF的中点，∴，

同理：，∴，

∴，，

∴，∴；

（2）当时，（1）中的结论成立，理由如下：

延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示：

∵O为CF的中点，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，.

∵四边形ABCD是正方形，∴，，

∵绕点A逆时针旋转α得，

∴，，

∴，，

∵，，，

∴，

∵，，∴，

在中，∵，

∴，

∵，∴，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴，

∵，∴，

在和中，，

∴≌（SAS），∴.

∴，∴，；

（3）连接AO，如图3所示：

∵，，∴，∴，

∴点O在以AC为直径的圆上运动，

∵，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，

∵，∴点O经过的路径长为：．