综合与探究如图1.在平面直角坐标系xOy中.抛物线W的函数表达式为y=-x2+3x+4．抛物线W于x后交于A.B两点.与y轴交于点C．它的对称轴与x轴交于点D．(1)求A.B.C三点坐标及抛物线W的对称轴,(2)如图2.将抛物线W沿x轴向右平移m个单位得到抛物线W′.设抛物线W′的对称轴与x轴交于点E.与线段BC交于点F.过点F作x轴的平行线.交抛物线W的对称轴于点P．①求当m为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=-x²+3x+4．抛物线W于x后交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．它的对称轴与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点坐标及抛物线W的对称轴；
（2）如图2，将抛物线W沿x轴向右平移m个单位得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与x轴交于点E，与线段BC交于点F，过点F作x轴的平行线，交抛物线W的对称轴于点P．
①求当m为何值时，四边形EDPF的面积最大？最大面积为多少？
②以点E为中心，将四边形EDPF绕点E顺时针旋转90°，得到四边形EGHB．点D的对应点为G（如图3），求当m的值为多少时，点G恰好落在抛物线W上．

分析（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点坐标，根据配方法，可得对称轴；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得EF的长，根据矩形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据旋转性质，可得G点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）如图1，
把y=0代入y=-x²+3x+4，得
-x²+3x+4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
∴A，B两点坐标分别为（-1，0），（4，0）；
把x=0代入y=-x²+3x+4，得y=4，
∴C点坐标为（0，4）．
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴抛物线W的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$；
（2）①，
∵B，C两点坐标分别为（4，0），（0，4），
∴OC=OB，∠OCB=∠OBC=45°，
又∵FE∥OC，
∴∠EFB=∠OCB=∠OBC=45°，
∴EF=BE．
∵四边形DEFP为矩形，
∴DE=PF=m．
∴EF=BE=4-$\frac{3}{2}$-m=$\frac{5}{2}$-m，
设四边形DEFP的面积为S，
则S=DE•EF=m（$\frac{5}{2}$-m）=-m²+$\frac{5}{2}$m=-（m-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$
∴当m=$\frac{5}{4}$时，四边形DEFP的面积最大，最大面积为$\frac{25}{16}$；
②如图3，
∵四边形EDPF为矩形，
∴DE=PF=m．
∴点E横坐标为$\frac{3}{2}$+m，
又∵四边形EGHB是由四边形EDPF旋转得到的，
∴EG=DE=m，
∴点G坐标为（$\frac{3}{2}$+m，m）．
把x=$\frac{3}{2}$+m，y=m代入抛物线W的解析式，得
-（$\frac{3}{2}$+m）²+3（$\frac{3}{2}$+m）+4=m．
解得：m₁=$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{26}}{2}$（不合题意，舍去），
∴当m的值为$\frac{-1+\sqrt{26}}{2}$时，点G恰好在抛物线W上．