Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，且∠DCE=45°，BE=2，AD=3．
（1）将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长；
（2）将△BCE沿直线CE翻折至△CEF，画出△CEF，并求DE的长．

Answer 1

考点：作图-旋转变换

专题：

分析：（1）将△CEB绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连结DF，根据旋转的性质可得CE=CF，AF=BE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，然后求出∠DCF=45°，从而得到∠DCE=∠DCF，再利用“边角边”证明△CDE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再求出△ADF是直角三角形，然后勾股定理得出DE²=AD²+BE²=3²+2²=13；
（2）根据轴对称的性质画出△CEF，由（1）可得DE的长．

解答：解：（1）如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连结DF．
由旋转的性质得，CE=CF，AF=BE=2，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠ACD+∠BCE=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
在△CDE和△CDF中，

CE=CF ∠DCE=∠DCF CD=CD

，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴DF=DE，
∵∠DAF=∠BAC+∠CAF=45°+45°=90°，
∴△ADF是直角三角形，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+BE²=3²+2²=13，
∴DE=

13

；

（2）如图所示，△CEF即为△BCE沿直线CE翻折后的图形，
由（1）可知DE=

13

．

点评：本题考查了作图-旋转变换，作图-翻折变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．