Question

5．已知直线y=kx+1与双曲线y=$\frac{4}{x}$（如图所示）．
（1）写出直线y=kx+1经过的定点坐标；
（2）对于k，试探索该直线与双曲线的交点情况．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，直线y=kx+1经过的定点的横坐标一定是0，从而可以求得它的纵坐标，本题得以解决；
（2）先把两个解析式联立方程组，再看△的值，根据△的值，可以确定该直线与双曲线的交点情况，还要考虑k=0的情况．该直线与双曲线的交点情况．

解答 解：（1）当x=0时，不管k（k≠0）为何值，直线y=kx+1一定过点（0，1），
即直线y=kx+1经过的定点坐标是（0，1）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$
可得，kx²+x-4=0，
△=1²-4×k×（-4）=1+16k，
当1+16k=0时，得k=-$\frac{1}{16}$，
∴当k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0时，该直线与双曲线有两个交点；
当k=-$\frac{1}{16}$时，该直线与双曲线有一个交点；
当k＜-$\frac{1}{16}$时，该直线与双曲线没有交点；
∵当k=0时，y=1与x轴平行，此时该直线与双曲线有一个交点；
由上可得，当k＞-$\frac{1}{16}$且k≠0时，该直线与双曲线有两个交点；
当k=-$\frac{1}{16}$或k=0时，该直线与双曲线有一个交点；
当k＜-$\frac{1}{16}$时，该直线与双曲线没有交点．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意要考虑k=0时的交点情况．