Question

12．甲乙两人共同加工一批零件，从工作开始到加工完这批零件两人恰好同时工作6小时，二人各自加工零件的个数y（个）与加工时间x（小时）之间的函数图象如图所示，根据信息回答下列问题：
（1）求甲在前4个小时的工作效率；
（2）求线段CD所在直线的解析式和这批零件的总数；
（3）加工多长时间，甲乙两人各自加工的零件个数相差5个？

Answer 1

分析 （1）根据工作效率=生产总数÷时间，即可得出结论；
（2）设线段CD所在直线的解析式为y=kx+b，设线段AB所在直线的解析式为y₁=k₁x+b₁．结合图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出直线CD、AB的解析式，分别求出当x=6时的y值，两值相加即可得出结论；
（3）根据函数图象找出线段OC所在的直接解析式，分段考虑二者之差为5时的情况，利用图象在上面的函数解析式-图象在下面的函数解析式=5，可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）甲在前4个小时每小时生产零件数为：80÷4=20（个），
∴甲在前4个小时的工作效率为20个/小时．
（2）设线段CD所在直线的解析式为y=kx+b，
将点（2，80）、（5，110）代入到y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{80=2k+b}\\{110=5k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=10}\\{b=60}\end{array}\right.$．
∴直线CD解析式为y=10x+60．
当x=6时，y=120．
设线段AB所在直线的解析式为y₁=k₁x+b₁，
将点（4，80）、（5，110）代入到y₁=k₁x+b₁中，
得$\left\{\begin{array}{l}{80=4{k}_{1}+{b}_{1}}\\{110=5{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=30}\\{{b}_{1}=-40}\end{array}\right.$．
∴直线AB解析式为y₁=30x-40．
当x=6时，y₁=140．
∵120+140=260（个）．
∴这批零件的总数为260个．
（3）设工作x（x＜4）小时后，甲乙两人各自加工的零件个数相差5个，
根据图象得：40x-20x=5，解得：x=$\frac{1}{4}$；
当x＞4时，分两种情况：
y-y₁=5时，即（10x+60）-（30x-40）=5，解得：x=$\frac{19}{4}$；
y₁-y=5时，即（30x-40）-（10x+60）=5，解得x=$\frac{21}{4}$．
答：加工时间为$\frac{1}{4}$、$\frac{19}{4}$或$\frac{21}{4}$小时时，甲乙两人各自加工的零件个数相差5个．

点评 本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用数量关系直接求值即可；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）分段考虑根据图象的关系得出关于x的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合图象上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．