题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=$\frac{3}{2}$x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=-x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC．
①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为$\frac{5}{3}$．求点H到OM'的距离d的值．
分析 （1）根据抛物线y=$\frac{3}{2}$x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，可得抛物线的解析式；
（2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得x=$\frac{2}{5}$，再根据直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3，即可得到E（$\frac{2}{5}$，-$\frac{12}{5}$），把E的坐标代入直线y=-x+n，可得n的值；②根据F（-2，0），A（-1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，-3），点C的坐标为（0，-3），可得CD∥x轴，CD=1，再根据∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；
（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积为$\frac{5}{3}$，求得OP=$\frac{5}{3}$，再根据点M的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），得到PM'=$\frac{4}{3}$，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'=$\frac{\sqrt{41}}{3}$，最后根据OM'×d=$\frac{5}{3}$，即可得到d=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．
解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{3}{2}$x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}-b+c=0}\\{6+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式y=$\frac{3}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-3；
（2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，
∴$\frac{BE'}{OE'}$=$\frac{BE}{CE}$，
∵BE=4EC，
∴BE'=4OE'，
设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，
∵B（2，0），
∴OB=2，即x+4x=2，
∴x=$\frac{2}{5}$，
∵抛物线y=$\frac{3}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-3与y轴交于点C，
∴C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b'，
∵B（2，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b'=0}\\{b'=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b'=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-3，
当x=$\frac{2}{5}$时，y=-$\frac{12}{5}$，
∴E（$\frac{2}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
把E的坐标代入直线y=-x+n，可得-$\frac{2}{5}$+n=-$\frac{12}{5}$，
解得n=-2；
②△AGF与△CGD全等．理由如下：
∵直线EF的解析式为y=-x-2，
∴当y=0时，x=-2，
∴F（-2，0），OF=2，
∵A（-1，0），
∴OA=1，
∴AF=2-1=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-3}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{2}{3}}\\{{y}_{1}=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∵点D在第四象限，
∴点D的坐标为（1，-3），
∵点C的坐标为（0，-3），
∴CD∥x轴，CD=1，
∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，
∴△AGF≌△CGD；
（3）∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，
∴点M、N关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，
设N（t，m），则M（1-t，m），
∵点 M关于y轴的对称点为点M'，
∴M'（t-1，m），
∴点M'在直线y=m上，
∴M'N∥x轴，
∴M'N=t-（t-1）=1，
∵H（1，0），
∴OH=1=M'N，
∴四边形OM'NH是平行四边形，
设直线y=m与y轴交于点P，
∵四边形OM'NH的面积为$\frac{5}{3}$，
∴OH×OP=1×m=$\frac{5}{3}$，即m=$\frac{5}{3}$，
∴OP=$\frac{5}{3}$，
当$\frac{3}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-3=$\frac{5}{3}$时，解得x1=-$\frac{4}{3}$，x2=$\frac{7}{3}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∴M'（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），即PM'=$\frac{4}{3}$，
∴Rt△OPM'中，OM'=$\sqrt{O{P}^{2}+PM{'}^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{3}$，
∵四边形OM'NH的面积为$\frac{5}{3}$，
∴OM'×d=$\frac{5}{3}$，
∴d=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$．
点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定以及平行四边形的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BC分别交BC，BD与点E，F，连接CF并延长，交AB于点G，若CG⊥AB，则∠FCB的度数为（ ）| A． | 30° | B． | 35° | C． | 40° | D． | 45° |
如图，由4个小正方形组成的方格中，△ABC的顶点都在格点上，在这个方格中再画出一个三角形，使它的顶点都在格点上，且与△ABC关于某条直线成轴对称，这样的三角形共有（ ）
用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是（ ）
