Question

16．如图，已知四边形ABCD中，∠B=∠C，AB=8，BC=10，CD=3，E是BC上一点，BE=4．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）求证：∠AED=∠B；
（3）已知点F在BC上，且∠AFD=∠AED．请画出∠AFD，并简要叙述画法，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=8，BC=10，CD=3，BE=4，易得AB：EC=BE：CD，又由∠B=∠C，即可证得：△ABE∽△ECD；
（2）由△ABE∽△ECD，可得∠BAE=∠CED，然后由三角形外角的性质，证得结论；
（3）根据同弧所对的圆周角相等，可得作△ADE的外接圆⊙O，则⊙O与BC的交点即为点F．

解答 证明：（1）∵BC=10，BE=4，
∴EC=BC-BE=6，
∵AB=8，CD=3，
∴AB：EC=8：6=4：3，BE：CD=4：3，
∴AB：EC=BE：CD，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECD；

（2）∵△ABE∽△ECD，
∴∠BAE=∠CED，
∵∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，
∴∠AED=∠B；

（3）如图，作△ADE的外接圆⊙O，则⊙O与BC的交点即为点F．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角的性质．注意有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，同弧所对的圆周角相等．