Question

7．如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．

解答 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵△BCM∽△ACN，
∴$\frac{MB}{AN}$=$\frac{MC}{NC}$，即$\frac{4}{2}$=$\frac{MC}{NC}$=2，即MC=2NC，
∴CN=$\frac{1}{3}$MN=$\frac{2}{3}$，
在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC=$\sqrt{A{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 此题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．