Question

10．已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连结BC，当P点坐标为（0，$\frac{2}{3}$）时，求△EBC的面积；
（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、C点的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）由∠APO、∠AED均匀∠PAO互余得出∠APO=∠AED，再结合∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE，由相似三角形的性质得出$\frac{OE}{OP}=\frac{OB}{OA}$，代入数据可得出OE的长度，结合C点坐标可得出CE长度，将CE、OB的长度代入三角形的面积公式，即可得出结论；
（3）令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直线x=1于点F，先证△ADH∽△DBF，再由相似三角形的性质找出$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{FB}$，设DH=a，由此可得出关于a的一元二次方程，解方程可求出a的值，再根据$\frac{OP}{HD}=\frac{AO}{AH}=\frac{1}{2}$可得出OP的长度，从而得出P点的坐标．

解答 解：（1）将点A（-1，0），点C（3，0）的坐标代入抛物线解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故该抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵BD⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°，
∴∠APO=∠AED=∠BEO，
又∵∠AOP=∠BOE=90°，
∴△AOP∽△BOE，
∴$\frac{OE}{OP}=\frac{OB}{OA}$．
令x=0，y=3，即点B的坐标为（0，3），
∵点A（-1，0），点C（3，0），点P（0，$\frac{2}{3}$），
∴OE=2，
∴CE=OC-OE=3-2=1．
S_△EBC=$\frac{1}{2}$CE•OB=$\frac{3}{2}$．
（3）抛物线对称轴直线x=-$\frac{2}{-1}$=1，令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直线x=1于点F，如图所示．

∵DH⊥x轴，BF⊥FD，
∴∠AHD=∠DFB=90°，
∵∠BDF+∠BDA+∠ADH=180°，∠BDA=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ADH=∠DBF，
∴△ADH∽△DBF，
∴$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{FB}$．
设DH=a．
∵AH=2，DF=BO-DH=3-a，FB=1，
∴有$\frac{2}{3-a}=\frac{a}{1}$，
解得：a₁=1，a₂=2．
又∵$\frac{OP}{HD}=\frac{AO}{AH}=\frac{1}{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$或1．
故点P的坐标为（0，1）或（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，解题的关键：（1）待定系数法求解析式的系数；（2）找出线段CE的长度；（3）由相似三角形的性质找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）（3）有点难度．解决该类问题，利用相似三角形的性质找出比例关系，解方程即可得出结论．