Question

8．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．
（1）依题意补全图形；
（2）连接BF交AE于点O，判断四边形AECG的形状并证明；
（3）若BC=10，AB=$\frac{20}{3}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）结合题意即可补全图形；
（2）由折叠的性质可得点O是BF中点，又由E是BC边的中点，可得EO是△BCF的中位线，即可判定EO∥CG．又由AG∥CE，即可得四边形AECG是平行四边形；
（3）首先由勾股定理求得AE的长，然后由三角形的面积相等，求得BO的长，继而求得BF的长，又由勾股定理，求得答案．

解答 （1）解：依题意补全图形，如图1；

（2）四边形AECG是平行四边形．
证明：如图2，依翻折的性质可知，点O是BF中点，
∵E是BC中点，
∴EO∥CG．
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是平行四边形．

（3）解：在Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5，AB=$\frac{20}{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$AE•BO，
∴BO=4．
∴BF=2BO=8．
∵BF⊥AE，AE∥CG，
∴∠BFC=90°．
∴CF=$\sqrt{B{C}^{2}-B{F}^{2}}$=6．

点评 此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质以及勾股定理等知识．注意结合题意准确画出图形，利用面积法求解是关键．