Question

17．已知抛物线y=x²+px+q与x轴的正半轴交于点A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，x₁，x₂均为整数，且x₁≠x₂，p+q=8，则x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=104．

Answer 1

分析 由图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，就相当于方程x²+px+q=0两个根分别为x₁，x₂，由两根关系求解即可．

解答 解：∵抛物线y=x²+px+q与x轴的正半轴交于点A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁x₂=q＞0，x₁+x₂=-p＞0．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-p）²-2q=p²-2（8-p）=p²+2p-16=（p+1）²-17＞0，
∴p+1＜-$\sqrt{17}$，
∴p+1＜-4
∴p＜-5，
∵x₁，x₂均为整数，且x₁≠x₂，p+q=8，
∴p=-6，q=14，或p=-7，q=15或p=-8，q=16或p=-10，q=18或p=-12，q=20，
只有p=-12，q=20时，符合题意，
∴x₁²+x₂²=（p+1）²-17=（-12+1）²-17=104．
故答案为104．

点评 考查了抛物线与x轴的交点．注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题．