Question

10．如图，A为⊙O外一点交⊙O于点B，C、D为⊙O上的两点，AD为⊙O的切线，若四边形ABCD为平行四边形，则∠A的度数为30°．

Answer 1

分析 由于AD是切线，D是切点，连接OD，△ADO是直角三角形．要求∠A的度数，需通过AO、AD、OD间的关系．利用平行四边形、等腰三角形间关系，说明四边形BDCO是平行四边形．

解答 解：连接DB、OC、OD．
∵AD为⊙O的切线，D是切点，
所以∠ADO=90°，∠ADB=∠DCB（弦切角等于它所夹的弧上的圆周角）
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥CB，CD∥AB，CD=AB．
∴∠ADB=∠DBC=∠DCB
又∵OB=OC
∴∠CBO=∠OCB
∴∠DCO=∠DBO
∵CD∥BO，∴∠CDB+∠DBO=180°，
∴∠CDB+∠DCO=180°，∴BD∥OC
所以四边形BDCO是平行四边形，
∴BO=OD=OB=CD=AB
在Rt△ADO中，因为OA=2OD
∴∠A=30°．

点评 本题考查了弦切角与圆周角间关系、平行四边形的性质和判定、30°角所对的直角边和斜边的关系、切线的性质等知识点．利用平行四边形的性质和判定，说明OA与OD的关系是解决本题的关键．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．