Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-$\frac{2}{3}$），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；
（3）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线的顶点坐标为（4，-$\frac{2}{3}$），所以可以假设抛物线为y=a（x-4）²-$\frac{2}{3}$把点（0，2）代入得到a=$\frac{1}{6}$，令y=0，解方程即可求出A、B两点坐标．
（2）设P（4，m），由题意可得$\frac{1}{2}$•4•|m|=2×$\frac{1}{2}$×4×2，解方程即可．
（3）存在．因为A、B关于对称轴对称，连接CB交对称轴于Q，连接QA，此时QA+QC最短（两点之间线段最短），

解答 解：（1）抛物线的顶点坐标为（4，-$\frac{2}{3}$），可以假设抛物线为y=a（x-4）²-$\frac{2}{3}$把点（0，2）代入得到a=$\frac{1}{6}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{6}$（x-4）²-$\frac{2}{3}$．
令y=0得到$\frac{1}{6}$（x-4）²-$\frac{2}{3}$=0，解得x=2或6，
∴A（2，0），B（6，0）．

（2）设P（4，m），
由题意：$\frac{1}{2}$•4•|m|=2×$\frac{1}{2}$×4×2，解得m=±4，
∴点P坐标（4，4）或（4，-4）．

（3）存在．理由如下：
∵A、B关于对称轴对称，连接CB交对称轴于Q，连接QA，此时QA+QC最短（两点之间线段最短），
∴QA+QC的最小值=QA+QC=QB+QC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法．轴对称-最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式，灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中常考题型．